Question

圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為

 

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．

解答：解：以AB所在直線為x軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，-1，0），B（0，1，0），S(0，0，

3

)，M(0，0，

3

2

)，設P（x，y，0）．于是有

AM

=(0，1，

3

2

)，

MP

=(x，y，-

3

2

)．
由于AM⊥MP，
所以(0，1，

3

2

)•(x，y，-

3

2

)=0，
即y=

3

4

，此為P點形成的軌跡方程，
其在底面圓盤內(nèi)的長度為2

1-( 3 4 )2

=

7

2

故答案為

7

2

點評：本題考查通過建立坐標系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．