Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=1，點E、F、G分別是各自所在棱的中點．
（1）在棱A₁D₁所在的直線上是否存在一點P，使得PE與平面B₁FG平行？若存在，確定點P的位置，并證明；否則說明理由．
（2）求點B₁到平面EFG的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）點P在D₁A₁的延長線上，滿足A₁P=

1

4

，利用向量法進行證明．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B₁到平面EFG的距離為1．

解答： 解：（1）點P在D₁A₁的延長線上，滿足A₁P=

1

4

，
使得PE與平面B₁FG平行．
證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵AB=2，AA₁=AD=1，
點E、F、G分別是各自所在棱的中點，A₁P=

1

4

，
∴P（

5

4

，0，1），E（1，0，

1

2

），B₁（1，2，1），
F（0，1，1），G（

1

2

，2，0），
∴

PE

=（-

1

4

，0，-

1

2

），

FB1

=（1，1，0），

FG

=（

1

2

，1，-1），
設平面B₁FG的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • FB1 =x+y=0 n • FG = 1 2 x+y-z=0

，取x=1得

n

=（1，-1，-

1

2

），
∵

PE

•

n

=-

1

4

+0+

1

4

=0，∴

PE

⊥

n

，
∵PE不包含于平面B₁FG，∴PE∥B₁FG．
（2）設平面EFG的法向量

n

=（x，y，z），
∵

EF

=（-1，1，

1

2

），

EG

=（-

1

2

，2，-

1

2

），
∴

n • EF =-x+y+ 1 2 z=0 n • EG =- 1 2 x+2y- 1 2 z=0

，取x=2，得y=1，z=2，∴

n

=(2，1，2)，
∵

EB1

=（0，2，

1

2

），
∴點B₁到平面EFG的距離d=

| n • EB1 |

| n |

=

|0+2+1|

3

=1．

點評：本題考查滿足條件的點的確定，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．