Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若f（x）在x=1時(shí)取得極值，且x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求 c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=x³-x²+bx+c，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）當(dāng)f（x）在x=1時(shí)取得極值時(shí)，則x=1是方程3x²-x+b=0的一個(gè)根，由韋達(dá)定理可以求出方程3x²-x+b=0的另一個(gè)根，進(jìn)而分析出區(qū)間[-1，2]的單調(diào)性，進(jìn)而確定出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]的最大值，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于c的不等式，根據(jù)二次不等式恒成立問題，即可得到答案．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，∵f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得b≥．
∵x∈（-∞，+∞）時(shí)，只有b=時(shí)，f′（）=0，∴b的取值范圍為[，+∞]．
（2）由題意，x=1是方程3x²-x+b=0的一個(gè)根，設(shè)另一根為x，
則∴∴f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，-）	-	（-，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+		-		+
f（x）	+c	遞增	極大值+c	遞減	極小值+c	遞增	2+c

∴當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值為f（2）=2+c，
∵對(duì)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題比較綜合的應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于b的不等式，而（2）的關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式恒成立問題．