Question

如圖，在棱長都等于1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-BDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理證明DE∥平面ABC；
（Ⅱ）根據(jù)棱錐的體積公式求三棱錐B₁-BDE的體積．

解答：解：（Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)G，連結(jié)AG，EG，
∵G，E分別為CB，CB₁的中點(diǎn)，
∴EG∥

1

2

BB₁，…2 分∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，D為AA₁中點(diǎn)
∴AD∥BB₁，AD=

1

2

BB₁，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四邊形ADEG為平行四邊形
∴AG∥DE   
又∵AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，
∵AB=BC，G為BC中點(diǎn)，∴AG⊥BC∴AG⊥平面B₁BE
又DE∥AG，DE=AG，
∴DE⊥平面B₁BE且DE=AG=

3

2

∵E為B₁C中點(diǎn)，
∴S△BB1E=

1

2

S△B1BC=

1

2

×(

1

2

BC×BB1)=

1

2

×(

1

2

×1×1)=

1

4

∴三棱錐B₁-BDE的體積VB1-BDE=VD-B1BE=

1

3

S△B1BE•DE=

1

3

×

1

4

×

3

2

=

3

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，以及三棱錐的體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和體積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．