Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

x

，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（Ⅲ）試判斷函數(shù)y=（x+1）f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式求得它的定義域，進而求得函數(shù)f（x）=1-

1

x

的值域．
（Ⅱ）設x₂＞x₁＞0，求得 f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1•x2

＜0，可得 f（x₁）＜f（x₂），可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅲ）函數(shù)定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，設g（x）=（x+1）f（x），根據(jù)g（-x）=-g（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

x-1

x

，可得它的定義域為{x|x≠0}，
故函數(shù)f（x）=1-

1

x

 的值域為{y|y≠1}．   
（Ⅱ）設x₂＞x₁＞0，∵f（x₁）-f（x₂）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

，
由題設可得，x₁-x₂＜0，∴x₁•x₂＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
（Ⅲ）函數(shù)定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，設g（x）=（x+1）f（x）=

x2-1

x

，
∵g（-x）=

(-x)2-1

-x

=-

x2-1

x

=-g（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．