Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點(diǎn)A（1，0）．
（1）若l₁與圓相切，求l₁的方程；
（2）若l₁與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM•AN是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①若直線l₁的斜率不存在，即直線x=1，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即 解之得 ．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx-y-k=0
由 得 又直線CM與l₁垂直，
得 ．

∴AM*AN=為定值．（10分）
分析：（1）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（2）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求AM•AN．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．