Question

5．已知直線l交拋物線y²=3x于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O是坐標原點），設l交x軸于點F，F(xiàn)′、F分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點．若雙曲線的右支上存在一點P，使得|$\overrightarrow{PF′}$|=2|$\overrightarrow{PF}$|，則a的取值范圍是[1，3）．

Answer 1

分析 確定直線過定點（3，0），可得F的坐標，由雙曲線的定義，再根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而a的取值范圍．

解答 解：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
設直線方程為x=my+b，
聯(lián)立方程，消去x得y²-3my-3b=0，
則y₁y₂=-3b，x₁x₂=b²，
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即-3b+b²=0，
解得b=0（舍去）或b=3，
故直線過定點（3，0），
∴F（3，0），
∵|$\overrightarrow{PF′}$|=2|$\overrightarrow{PF}$|，
∴由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{PF′}$|-|$\overrightarrow{PF}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=2a，
∵點P在雙曲線的右支上，
∴|PF|≥c-a，
∴2a≥c-a，∴a≥1，
∵$\frac{c}{a}＞1$，∴a＜3，
∴a的取值范圍是[1，3），
故答案為[1，3）．

點評 本題考查向量垂直的條件，同時考查直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點，雙曲線的簡單性質的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．