Question

秋收要到了，糧食豐收了．某農(nóng)戶準(zhǔn)備用一塊相鄰兩邊長分別為a、b的矩形木板，在屋內(nèi)的一個墻角搭建一個急需用的糧倉，這個農(nóng)戶在猶豫，是將長為a的邊放在地上，還是將邊長為b的邊放在地上，木板又該放在什么位置的時候，才能使此糧倉所能儲放的糧食最多．請幫該農(nóng)戶設(shè)計一個方案，使糧倉所能儲放的糧食最多(即糧倉的容積最大)．

Answer 1

答案：
解析：

解　　設(shè)墻角的兩個半平面形成的二面角為定值α．將b邊放在地上，如圖所示，則糧倉的容積等于以△ABC為底面，高為a的直三棱柱的體積． 　　由于該三棱柱的高為定值a，于是體積取最大值時必須△ABC的面積S取最大值． 　　設(shè)AB＝x，AC＝y(tǒng)，則由余弦定理有 b2＝x2＋y2－2xycosα≥2xy－2xycosα． 　　于是，xy≤ 　　從而，S＝xysinα≤ 　　當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，S取最大值． 　　故當(dāng)AB＝AC時，(Vb)max＝． 　　同理，當(dāng)a邊放在地上時，(Va)max＝． 　　顯然，當(dāng)a＞b時，(Va)max＞(Vb)max；當(dāng)a＜b時，(Va)max＜(Vb)max；當(dāng)a＝b時，(Va)max＝(Vb)max． 　　故當(dāng)a＞b時，將a邊放地上，且使底面三角形成以a為底邊的等腰三角形；當(dāng)b＞a時，將b邊放地上，且使底面三角形成以b為底邊的等腰三角形；當(dāng)a＝b時，無論將a邊還是b邊放在地上均可，只須使底面三角形構(gòu)成以所放這條邊為底邊的等腰三角形即可．