Question

如圖，橢圓與一等軸雙曲線相交，M是其中一個交點(diǎn)，并且雙曲線在左、右頂點(diǎn)分別是該橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是橢圓左、右頂點(diǎn)，△MF₁F₂的周長為（4），設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：由題意知，雙曲線的離心率為，橢圓離心率為，∴a=c
∵2a+2c=4（ ），∴a=2，c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則k₁=，k₂=，
∴k₁•k₂==，
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，∴y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂==1．
（3）解：假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，則由（2）知k₁•k₂=1，
∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=（x-2），
由方程組 消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x2，y₂），則由韋達(dá)定理得，x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴|AB|=，
同理可得|CD|=
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==
∴存在常數(shù)λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
分析：（1）由題意知，確定雙曲線、橢圓離心率，根據(jù)△MF₁F₂的周長，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)斜率公式求得k₁、k₂，利用點(diǎn)P在雙曲線上，即可證明結(jié)果；
（3）設(shè)直線AB、CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．