Question

12．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，且$\frac{1}{2}$a_n+1=S_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若6n-m（S_n+1）≤18對n∈N^*恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$a_n+1=S_n+1，n=1時，$\frac{1}{2}{a}_{2}$=1+1，解得a₂．n≥2時，利用遞推關系可得：a_n+1=3a_n，數(shù)列{a_n}從第二項起是等比數(shù)列，可得a_n．
（2）n≥2時，S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$-1=2×3^n-1-1．由于6n-m（S_n+1）≤18對n∈N^*恒成立，對n分類討論，利用數(shù)列的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$a_n+1=S_n+1，
∴n=1時，$\frac{1}{2}{a}_{2}$=1+1，解得a₂=4．
n≥2時，$\frac{1}{2}{a}_{n}$=S_n-1+1，
∴$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}{a}_{n}$=S_n-S_n-1=a_n，化為：a_n+1=3a_n，
而a₂=4a₁，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起是等比數(shù)列．
n≥2時，a_n=a₂•3^n-2=4×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）n≥2時，S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$-1=2×3^n-1-1．
∵6n-m（S_n+1）≤18對n∈N^*恒成立，
∴n=1時，6-2m≤18，解得m≥-6．
n≥2，6n-m（2×3^n-1-1+1）≤18，化為：m≥$\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}$，
而$\frac{3（n+1）-9}{{3}^{n}}$-$\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1-n}{{3}^{n-1}}$＜0，
∴數(shù)列$\{\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}\}$單調遞減，∴m≥-1．
綜上可得：m≥-1．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．