Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)， ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).當(dāng)時(shí)，若， ，不等式成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）3

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題等價(jià)于等價(jià)于， 對(duì)恒成立，，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

試題解析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，

令，得，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，

， ，不等式成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)， 恒成立，

即對(duì)恒成立，

因?yàn)?/span>時(shí)，

所以對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

設(shè)，

則，

令，則，

當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而， ，

所以，

所以存在唯一的，使得，即，

當(dāng)時(shí)， ， ，所以函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， ，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，同時(shí)也為最小值，

因?yàn)?/span> ，

又，且，

所以的最大整數(shù)值是.