Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

，其中a∈R，m是給定的正整數(shù)，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在區(qū)間[1，+∞）上有解，則實數(shù)a的取值范圍是

a＞

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，將原不等式等價變形為：（1-a）m^x＜1^x+2^x+3^x+…+（m-1）^x，再變量分離得到1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+（

3

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x，原不等式在區(qū)間[1，+∞）上有解，即1-a小于右邊的最大值．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到右邊的最大值為

3-m

2

，最后結(jié)合m≥2即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：不等式f（x）＞（x-1）lgm，即
lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

＞lgm^x-1，
∵常用對數(shù)的底10＞1，
∴原不等式可化為1^x+2^x+3^x+…+（m-1）^x+m^xa＞m^x，
移項得（1-a）m^x＜1^x+2^x+3^x+…+（m-1）^x，
因為m是正整數(shù)，所以兩邊都除以m^x，得
1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+（

3

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x，…（*）
不等式f（x）＞（x-1）lgm在區(qū)間[1，+∞）上有解，即（*）式的右邊的最大值大于1-a
∵g（x）=（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+（

3

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x在[1，+∞）上是一個減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時，g（x）的最大值為

1

m

+

2

m

+

3

m

+…+

m-1

m

=

1

m

×

m(m-1)

2

=

m-1

2

因此1-a＜

m-1

2

，得實數(shù)a的取值范圍是a＞

3-m

2

，結(jié)合m≥2得a＞

1

2

故答案為：a＞

1

2

點評：本題給出對數(shù)型函數(shù)，求一個不等式在區(qū)間上有解的參數(shù)a的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生對基本初等函數(shù)的掌握，屬于中檔題．