Question

已知橢圓Γ的中心在原點O，焦點在x軸上，直線l：x+y-=0與橢圓Γ交于A、B兩點，|AB|=2，且∠AOB=．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若M、N是橢圓Γ上的兩點，且滿足•=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，設直線l：x+y=與橢圓Γ：+=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB=，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=（1-y₁），x₂=（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0．由此可求出橢圓Γ的方程．
（2）由題意知M、N是橢圓+y²=1上的兩點，且OM⊥ON，故設M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），由題設條件能夠推出|MN|的最小值為．
解答：解：（1）依題意，設直線l：x+y=與橢圓Γ：+=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=（1-y₁），x₂=（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨設y₁＞y₂，則y₂=y₁+1，②
將②式代入①式求得：或，
∴A（，），B（-，）或A（，0），B（0，1），
又A（，），B（-，）不合題意，舍去．
∴A（，0），B（0，1），
故所求橢圓Γ的方程為+y²=1．
（2）由題意知M、N是橢圓+y²=1上的兩點，且OM⊥ON，
故設M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（+sin²θ）=1，r₂²（+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（+）=2++≥4，
從而|MN|²•≥4，即|MN|≥，
故所求|MN|的最小值為．
點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．