Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

3

4

x²sinθ，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤π．若函數(shù)f（x）的極小值小于-

1

128

，則參數(shù)θ的取值范圍是（　�。�

• A、（

  π

  6

  ，π）
• B、（

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• C、[

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ]
• D、（

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：由題意求導(dǎo)f′（x）=3x²-

3

2

xsinθ=

3

2

x（2x-sinθ），從而可知函數(shù)f（x）在x=

1

2

sinθ處取得極小值，從而得到不等式

1

8

sin³θ-

3

4

×

1

4

sin²θ•sinθ＜-

1

128

，從而求解θ．

解答： 解：f′（x）=3x²-

3

2

xsinθ=

3

2

x（2x-sinθ），
又∵0≤θ≤π，∴0≤sinθ≤1；
又∵函數(shù)f（x）有極小值，
∴0＜sinθ＜1，且函數(shù)f（x）在x=

1

2

sinθ處取得極小值，
∴f（

1

2

sinθ）=

1

8

sin³θ-

3

4

×

1

4

sin²θ•sinθ＜-

1

128

，
∴sin³θ＞

1

8

，即sinθ＞

1

2

，
故θ∈（

π

6

，

5π

6

）．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與三角函數(shù)求值，屬于中檔題．