【題目】在斜三棱柱中,為等腰直角三角形,,平面⊥平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),.
(1)證明:平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)證明平面,平面平面即得證;
(2)由于,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為,,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求出二面角的余弦值.
(1)證明:分別取,的中點(diǎn)和,連接,,,.
因為,為的中點(diǎn),所以,
因為平面平面,且平面平面.
所以平面,
因為是的中點(diǎn).
所以,且,
因為點(diǎn)為棱的中點(diǎn)所以,且,
所以,且,所以四邊形是平行四邊形,則.
因為平面,所以平面,
因為平面,所以平面平面.
(2)由題意得,則平面,故,,兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為,,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
故,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,令,得.
設(shè)平面的法向量為,
則令,得,
則,
由圖可知二面角為銳角,則二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,AD⊥PD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).
(1)在棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得CF∥平面PAE,并說明理由;
(2)若AC⊥PB,二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時,求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】政府工作報告指出,2019年我國深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略,創(chuàng)新能力和效率進(jìn)一步提升;2020年要提升科技支撐能力,健全以企業(yè)為主體的產(chǎn)學(xué)研一體化創(chuàng)新機(jī)制,某企業(yè)為了提升行業(yè)核心競爭力,逐漸加大了科技投入;該企業(yè)連續(xù)5年來的科技投入x(百萬元)與收益y(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
科技投入x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收益y | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 |
(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)按照(1)中模型,已知科技投入8百萬元時收益為140百萬元,求殘差(殘差真實值-預(yù)報值).
參考數(shù)據(jù):回歸直線方程,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①;②;③,這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,然后解答補(bǔ)充完整的題目.
在△中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為.且滿足_________.
(1)求;
(2)已知,△的外接圓半徑為,求△的邊AB上的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,為矩形,為等腰梯形,,,,且,平面平面,,分別為,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,.
(Ⅰ)若點(diǎn)為的中點(diǎn),求證:∥平面;
(Ⅱ)當(dāng)平面平面時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
Ⅰ若函數(shù)的最大值為3,求實數(shù)的值;
Ⅱ若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ若,是函數(shù)的兩個零點(diǎn),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】質(zhì)量是企業(yè)的生命線,某企業(yè)在一個批次產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢件,并按質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行統(tǒng)計分析,得到表格如表:
質(zhì)量指標(biāo)值 | 等級 | 頻數(shù) | 頻率 |
三等品 | 10 | 0.1 | |
二等品 | 30 | ||
一等品 | 0.4 | ||
特等品 | 20 | 0.2 | |
合計 | 1 |
(1)求,,;
(2)從質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中,按照等級分層抽樣抽取6件,再從這6件中隨機(jī)抽取2件,求至少有1件特等品被抽到的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:和恒成立,則稱此直線為和的“隔離直線”,已知函數(shù),,(為自然對數(shù)的底數(shù)),則( )
A.在內(nèi)單調(diào)遞增;
B.和之間存在“隔離直線”,且的最小值為;
C.和之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是;
D.和之間存在唯一的“隔離直線”.
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