Question

如圖，矩形 ABCD 中，BC=2，AB=1，PA丄平面 ABCD，BE∥PA，BE=PA，F(xiàn) 為PA的中點．
（I）求證：DF∥平面PEC
（II）記四棱錐C一PABE的體積為V₁，三棱錐P-ACD的 體積為V₂，求的值．

Answer 1

（I）證明：連接EF，由已知，BE∥AF，BE=AF，
又PA⊥平面ABCD，∴四邊形ABEF為矩形，
∴EF∥AB，EF=AB，
又矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四邊形CDFE為平行四邊形，則DF∥EC，
又DF?平面PEC，EC?平面PEC，∴DF∥平面PEC．
（II）解：∵三棱錐P-ACD與三棱錐P-ABC的體積相等，即V₂=V_P-ABC，
∵三棱錐P-ABC的體積，即為三棱錐C-PAB的體積，
△PAB的面積為△PEB面積的2倍，
∴三棱錐C-PAB的體積為C-PEB的體積的2倍，即V_C-PEB=V₂，
所以四棱錐C-PABE的體積V₁=V₂+V_C-PEB=，
∴=．
分析：（I）連接EF，要證DF∥平面PEC，只需證明DF∥EC，問題可轉(zhuǎn)化為證明四邊形CDEF為平行四邊形；
（II）三棱錐P-ACD的 體積為V₂等于三棱錐P-ABC的體積，四棱錐C一PABE的體積為V₁，可分為兩三棱錐C-PAB的體積和三棱錐C-PEB的體積和，而兩三棱錐體積關(guān)系易找，從而可得答案．
點評：本題考查線面平行的判定及棱柱、棱錐、棱臺體積的計算，考查學(xué)生推理論證能力及對問題的轉(zhuǎn)化能力．