Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-bx
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)b＞0時(shí)，討論函數(shù)|f（x）|在區(qū)間（0，2）上是否存在極大值，若存在，求出極大值及相應(yīng)實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當(dāng)b=1時(shí)f（x）=e^x-x，
∴f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，
f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；…（5分）
（2）轉(zhuǎn)化為y=e^x與y=bx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)b＜0時(shí)，作出圖象，發(fā)現(xiàn)滿足要求；
當(dāng)b≥0時(shí)，作出圖象，
發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)y=e^x與y=bx相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)
設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則，解得
所以，b＜0或b=e…（10分）
（3）f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，則x=lnb
當(dāng)x∈（-∞，lnb）時(shí)，f'（x）=e^x-b＜0，所以f（x）遞減；
當(dāng)x∈（lnb，+∞）時(shí)，f'（x）=e^x-b＞0，所以f（x）遞增；
所以，f（x）的最小值為f（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）
當(dāng)0＜b≤e時(shí)，f（lnb）=b（1-lnb）≥0，所以f（x）=e^x-bx≥0
∴|f（x）|=f（x）=e^x-bx，
此時(shí)，|f（x）|在（-∞，+∞）上無極大值，所以在（0，2）上無極大值
當(dāng)b＞e時(shí)，f（lnb）=b（1-lnb）＜0，
∴，
可得：
若b≥e²，則lnb≥2，此時(shí)|f（x）|在（0，2）上無極大值；
若b＜e²，則lnb＜2，此時(shí)|f（x）|在（0，2）上有極大值|f（lnb）|=b（lnb-1）
綜上得：
當(dāng)0＜b≤e或b≥e²時(shí)，|f（x）|在（0，2）上無極大值；
當(dāng)e＜b＜e²時(shí)，|f（x）|在（0，2）上有極大值|f（lnb）|=b（lnb-1）…（16分）
分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)涵數(shù)f'（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先將原問題轉(zhuǎn)化為y=e^x與y=bx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)的問題，再對b進(jìn)行分類討論：當(dāng)b＜0時(shí)，作出圖象，發(fā)現(xiàn)滿足要求；當(dāng)b≥0時(shí)，作出圖象，發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)y=e^x與y=bx相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)．從而求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）求出f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，則x=lnb，不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義進(jìn)行判定極值即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．