Question

設函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx-cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）化簡的函數(shù)解析式，進而根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的單調性求得函數(shù)的最大和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

．
T=

2π

2

=π，故f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）因為0≤x≤

π

2

，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
所以當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）有最大值

1

2

，
當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）有最小值-1．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角和兩角和公式的化簡求值．考查了三角函數(shù)基礎知識的綜合運用．