【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對任意 恒成立,求實數(shù)m的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=xlnx,
∴f'(x)=lnx+1,
∴f'(x)>0有 ,∴函數(shù)f(x)在 上遞增,f'(x)<0有 ,
∴函數(shù)f(x)在 上遞減,
∴f(x)在 處取得極小值,極小值為
(2)解:∵2f(x)≥﹣x2+mx﹣3
即mx≤2xlnx+x2+3,又x>0,
∴ ,
令 ,
令h'(x)=0,解得x=1或x=﹣3(舍)
當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)在(0,1)上遞減
當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)在(1,+∞)上遞增,
∴h(x)min=h(1)=4.
∴m≤4,
即m的最大值為4.
【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系即可求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)利用不等式恒成立,進行參數(shù)分離,利用導(dǎo)數(shù)即可求出實數(shù)m的最大值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足條件(n﹣1)an+1=(n+1)(an﹣1),且a2=6,
(1)計算a1、a3、a4 , 請猜測數(shù)列{an}的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)設(shè)bn=an+n(n∈N*),求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)設(shè)點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ,求線段AM的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機抽取某中學(xué)甲乙兩班各6名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖,則甲班樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和乙班樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是( )
A.170,170
B.171,171
C.171,170
D.170,172
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)對于任意x∈R有 ,且當(dāng)x∈[﹣1,1]時,f(x)=x2+1,則以下命題正確的是: ①函數(shù)數(shù)y=f(x)是周期為2的偶函數(shù);
②函數(shù)y=f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增;
③函數(shù) 的最大值是4;
④若關(guān)于x的方程[f(x)]2﹣f(x)﹣m=0有實根,則實數(shù)m的范圍是[0,2];
⑤當(dāng)x1 , x2∈[1,3]時, .
其中真命題的序號是 .
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【題目】若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項a1>0,a2003+a2004>0,a2003 . a2004<0,則使前n項和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是( )
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008
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【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),并且滿足下面三個條件: ①對任意正數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y);
②當(dāng)x>1時,f(x)>0;
③f(3)=1,
(1)求f(1), 的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)性,并用定義給出證明;
(3)對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x,f(kx)+f(4﹣x)<2(k為常數(shù),且k>0)恒成立,求正實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知命題p:“ =1是焦點在x軸上的橢圓的標準方程”,命題q:“不等式組 所表示的區(qū)域是三角形”.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)直線l的方程是x+my+2 =0,圓O的方程是x2+y2=r2(r>0).
(1)當(dāng)m取一切實數(shù)時,直線l與圓O都有公共點,求r的取值范圍;
(2)r=5時,求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍;
(3)當(dāng)r=1時,設(shè)圓O與x軸相交于P,Q兩點,M是圓O上異于P,Q的任意一點,直線PM交直線l′:x=3于點P′,直線QM交直線l′于點Q′.求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點,并求出定點坐標.
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