Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=m•2^x+2-4^x．若存在實數(shù)x₀∈[-1，1]，使得f（-x₀）+f（x₀）=1成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{3}{16}，\frac{21}{80}$]
• B． [$\frac{3}{8}，\frac{21}{40}$]
• C． [$\frac{3}{4}，\frac{21}{20}$]
• D． [$\frac{3}{2}，\frac{21}{10}$]

Answer 1

分析 根據(jù)f（-x₀）+f（x₀）=1，代入函數(shù)值整理成${{（2}^{{-x}_{0}}{+2}^{{x}_{0}}）}^{2}$-4m（${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$）-1=0，設(shè)${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$=t，$\frac{5}{2}$≥t≥2，得出t²-4mt-1=0；分離參數(shù)m，利用函數(shù)的單調(diào)性求出m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=m•2^x+2-4^x，且存在實數(shù)x₀∈[-1，1]，使f（-x₀）+f（x₀）=1，
∴4m•${2}^{{-x}_{0}}$-${4}^{{-x}_{0}}$+4m•${2}^{{x}_{0}}$-${4}^{{x}_{0}}$=1；
整理成${{（2}^{{-x}_{0}}{+2}^{{x}_{0}}）}^{2}$-4m（${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$）-1=0，
設(shè)${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$=t，其中$\frac{5}{2}$≥t≥2；
∴t²-4mt-1=0；
分離參數(shù)m=$\frac{1}{4}$（t-$\frac{1}{t}$），根據(jù)單調(diào)性的定義知該函數(shù)在[2，$\frac{5}{2}$]上是增函數(shù)；
∴m≥$\frac{1}{4}$×（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{8}$，
且m≤$\frac{1}{4}$×（$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{5}$）=$\frac{21}{40}$；
∴實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{3}{8}$，$\frac{21}{40}$]．
故選：B．

點評 本題考查完了全平方式、換元法以及基本不等式的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，是綜合性題目．