Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上動點，F是AB中點，AC=1，BC=2，AA₁=4．
（1）當E是棱CC₁中點時，求證：CF∥平面AEB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A-EB₁-B的余弦值是

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，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證CF∥平面AEB₁，只要證CF垂直于平面AEB₁內的一條直線即可，由E是棱CC₁的中點，F是AB中點，可想取AB₁中點，連結后利用三角形中位線知識結合三棱柱為直三棱柱證明四邊形FGEC是平行四邊形，從而得到線線平行，得到線面平行；
（2）以C為坐標原點，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，設出E點的坐標，進一步求出二面角A-EB₁-B的兩個面的法向量的坐標，然后把二面角的余弦值轉化為法向量所成角的余弦值求解E，則結論得到證明．

解答：（1）證明：取AB₁的中點G，聯結EG，FG
∵F、G分別是棱AB、AB₁中點，∴FG∥BB₁，FG=

1

2

BB1
又∵FG∥EC，EC=

1

2

CC1，FG=EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，
∴CF∥EG．
∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB；
（2）解：以C為坐標原點，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz
則C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，4）
設E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB₁的法向量

n1

=(x，y，z)

AB1

=(-1，2，4)，

AE

=(-1，0，m)．
由

AB1 ⊥ n1 AE ⊥ n1

，得

-x+2y+4z=0 -x+mz=0

，取z=2，得

n1

=(2m，m-4，2)
∵CA⊥平面C₁CBB₁，
∴

CA

是平面EBB₁的法向量，則平面EBB₁的法向量

n2

=

CA

=(1，0，0)
∵二面角A-EB₁-B的平面角余弦值為

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，
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2m

4m2+(m-4)2+4

=

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，解得m=1（0≤m≤4）．
∴在棱CC₁上存在點E，符合題意，此時CE=1．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，利用空間向量求解空間角的關鍵是正確建立空間右手系，同時注意二面角的平面角與其法向量所成角的關系，是中檔題．