Question

已知直線l：x=my+1（m∈R）與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，與x軸相交于點B．，且當(dāng)m=0時，|EF|=．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為（-3，0），直線AE，AF與直線x=3分別交于M，N兩點．試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點B？并請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=0時，直線l的方程為x=1，設(shè)點E在x軸上方，
由，解得E（1，），F(xiàn)（1，-）．
所以|EF|==，解得t=2．
所以橢圓C的方程為．
（2）由，得（2m²+9）y²+4my-16=0，顯然m∈R．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁y₂=．
x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直線AE的方程為y=，
由，解得M（3，），
同理得N（3，）．又B（1，0），
所以=（2，），=（2，），
又因為•=（2，）•（2，）
=4+=4+
=
=
==0．
所以，所以以MN為直徑的圓過點B．
分析：（1）m=0時直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立解得E，F(xiàn)坐標(biāo)，據(jù)|EF|=得到關(guān)于t的方程，解出即可．
（2）由消x得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由韋達定理可用m表示y₁，y₂，根據(jù)已知條件可求出M，N坐標(biāo)，判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點B，只需判斷是否有，進而轉(zhuǎn)化為是否有•=0，通過計算即可驗證．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的運算能力，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度．