Question

【題目】已知橢圓C： 的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點相同，且橢圓C上一點與橢圓C的左，右焦點F1，F2構成的三角形的周長為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l：y＝kx＋m(k，m∈R)與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，△AOB的重心G滿足： ，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：(1)利用與拋物線有公共焦點、橢圓的定義及幾何要素間的等量關系進行求解；(2)聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系、三角形的重心性質和平面向量的數量積運算進行求解.

試題解析：(1)依題意得

即

所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立得方程組

消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

則

設△AOB的重心為G(x，y)，

由·＝－，

可得x2＋y2＝.②

由重心公式可得G(，)，

代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③

將①式代入③式并整理，

得m2＝，

代入(*)得k≠0，

則m2＝＝1＋＝1＋.

∵k≠0，∴t＝>0，∴t2＋4t>0，

∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．