Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點是拋物線y2=2

5

x的焦點，且雙曲線C經(jīng)過點(1，

3

)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求實數(shù)k值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的焦點是(

5

2

，0)，知雙曲線的c=

5

2

，由此能求出求雙曲線C的方程．
（2）聯(lián)立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0，當△＞0時，得-2

2

＜k＜2

2

（且k≠±2），由書達定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，由此能求出實數(shù)k值．

解答：解（1）拋物線的焦點是(

5

2

，0)，
則雙曲線的c=

5

2

…（1分）
點在雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1上，則有

1

a2

-

3

b2

=1…（2分）
解得：a2=

1

4

，b2=1⇒方程為：4x2-y2=1…（5分）
（2）聯(lián)立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
當△＞0時，得-2

2

＜k＜2

2

（且k≠±2）…（7分）（未寫△扣1分）
由書達定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

…（8分）
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

OA

⊥

OB

，x1x2+y1y2=0
即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入，
可得：k2=2，k=±

2

，
檢驗合格．…（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．