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設曲線S：y=x3-6x2-x+6，S在哪一點處的切線斜率最�。吭O此點為P（x，y）求證：曲線S關于P點中心對稱．
【答案】分析：欲求S在哪一點處的切線斜率最小，先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率的函數，根據二次函數的最值即可求得斜率的最小值．欲求證：曲線S關于P點中心對稱，先看按向量（-2，+12）平移后得到的函數是不是奇函數，如果是奇函數，則問題解決．
解答：證明：y′=3x2-12x-1當x=2時有最小值．故P：（2，-12）．
S在（2，-12）處的切線斜率最小，為-13．
又y=（x-2+2）3-6（x-2+2）2-（x-2+2）+6
=（x-2）3-13（x-2）-12
故曲線C的圖象按向量（-2，+12）平移后方程為y′=x-13x′為奇數，關于原點對稱，
故P（2，-12）為曲線S的對稱中心．
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

19、設曲線S：y=x3-6x2-x+6，S在哪一點處的切線斜率最小？設此點為P（x0，y0）求證：曲線S關于P點中心對稱．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=
π
3
時，f（x）取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=
1
8
[5x-f(x)]，設x1是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x2、x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=ax+bsinx，當數學公式時，f（x）取得極小值數學公式．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記數學公式，設x1是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x2、x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設曲線S：y=x3-6x2-x+6，S在哪一點處的切線斜率最小？設此點為P（x0，y0）求證：曲線S關于P點中心對稱．

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