如圖，四棱錐P—ABCD底面為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．

(1)求證：平面PCD⊥平面PAD；

(2)若AB=2，CD=4，側(cè)面PBC是一邊長等于10的正三角形，求對角線AC與側(cè)面PCD所成的角的正弦值．

 

答案：
解析：

(1)證明：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，CD平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD．

又∵CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．

(2)解：作AE⊥PD于E，連結(jié)CE，

∵平面PAD⊥平面PCD，

∴AE⊥平面PCD，故∠ACE就是AC與平面PCD所成的角．

在直角梯形BADC中，AB=2，BC=10，CD=4，

∴AD2=BC2-(CD—AB)2=96．

∴AD=．

在Rt△CDP中,PD=．

在Rt△PAB中，同樣可求PA=．

在等腰三角形PAD中，PA=,PD=,AD=,∴AE=5．

在Rt△AEC中，sinACE=．

點評：(1)的證明過程是先用面面垂直的性質(zhì)，得到CD⊥平面PAD，然后利用面面垂直的判定定理得到平面PCD⊥平面PAD．

(2)利用平面ADP⊥平面CDP得到AE⊥平面PDC，從而找到了AC與平面PDC所成的角∠ACE，再用其他條件求出sinACE．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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