過(guò)圓O外一點(diǎn)做一直線交圓O于B，C，AB=
13
AC，圓O半徑為2，若角OBC=30°，則自A作圓O的切線段長(zhǎng)為
3
3
．
分析：如圖所示，自A作圓O的切線，設(shè)切點(diǎn)為E，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD．在等腰△BCO中，BO=CO=2且∠OBC=30°，算出BC長(zhǎng)為2
3
，由AB=
1
3
AC可得AB=
1
2
BC=
3
，從而AC=3
3
，根據(jù)切割線定理加以計(jì)算，可得切線段AE的長(zhǎng)．
解答：解：自A作圓O的切線，設(shè)切點(diǎn)為E．取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD，
∵△BCO中，BO=CO=2，∠OBC=30°，
∴OD⊥BC，得CD=BD=BOcos30°=
3
，BC=2
3

∵AB=
1
3
AC，可得AB=
1
2
BC=
3
，得AC=3
3
．
∵AE切圓O于點(diǎn)E，
∴AE2=AB•AC=
3
•3
3
=9，解之得AE=3．
即自A作圓O的切線段長(zhǎng)為3．
故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的割線滿足的條件，求切線段的長(zhǎng)度．著重考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、切割線定理等知識(shí)，屬于中檔題．
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（幾何證明選講選做題）如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A作直線AP垂直直線OM，垂足為P；N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)；過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K，則∠OKM =         ．

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選做題選修4－1：幾何證明選講

如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A作直線AP垂直直線OM，垂足為P。

（1）證明：OM·OP = OA2；

（2）N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)。過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K。證明：∠OKM = 90°。

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如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A作直線AP垂直直線OM，垂足為P。

（1）證明：OM·OP = OA2；

（2）N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)。過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K。證明：∠OKM = 90°。

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