Question

橢圓Γ：

x2

25

+

y2

r2

=1（r＞0）的左頂點為A，直線x=4交橢圓Γ于B，C兩點（C上B下），動點P和定點D（-4，6）都在橢圓Γ上．
（1）求橢圓方程及四邊形ABCD的面積；
（2）若四邊形ABCP為梯形，求點P的坐標；
（3）若m，n為實數(shù)，

BP

=m

BA

+n

BC

，求m+n的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由于定點D（-4，6）在橢圓Γ上，可得

(-4)2

25

+

62

r2

=1，解得r²=100，即可得出橢圓Γ的方程為．與x=4聯(lián)立即可解得B，C的坐標．由于DC∥x軸，可得S_{四邊形ABCD}等于梯形ADCE與直角三角形ABE的面積之和．
（2）若四邊形ABCP為梯形，則CP∥AB，

CP

∥

AB

．設P（x，y），利用向量共線定理可得2x+3y-26=0．與橢圓方程聯(lián)立即可解出．
（3）設P（x，y），則

BP

=(x-4，y+6)，

BA

=（-9，6），

BC

=（0，12）．

BP

=m

BA

+n

BC

，利用向量坐標運算可得

x-4=-9m y+6=6m+12n

，代入橢圓方程可得：5m²+2mn+2n²-5m-2n=0．令m+n=k，則n=k-m，代入上式可得：5m²-（2k+3）m+2k²-2k=0，根據(jù)此方程由實數(shù)根，可得△≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵定點D（-4，6）在橢圓Γ上，∴

(-4)2

25

+

62

r2

=1，解得r²=100．
∴橢圓Γ的方程為：

x2

25

+

y2

100

=1．
聯(lián)立

x=4 x2 25 + y2 100 =1

，解得

x=4 y=6

或

x=4 y=-6

．
即C（4，6），B（4，-6）．
DC∥x軸，
可得S_{四邊形ABCD}=

1

2

×(8+9)×6+

1

2

×9×6=78．
（2）若四邊形ABCP為梯形，則CP∥AB，∴

CP

∥

AB

．
設P（x，y），則

CP

=（x-4，y-6），

.

AB

=（9，-6）．
∴9（y-6）+6（x-4）=0，化為2x+3y-26=0．
聯(lián)立

2x+3y-26=0 4x2+y2=100

，解得

x=- 7 5 y= 48 5

或

x=4 y=6

（舍去）．
∴P(-

7

5

，

48

5

)．
（3）設P（x，y），則

BP

=(x-4，y+6)，

BA

=（-9，6），

BC

=（0，12）．
∵

BP

=m

BA

+n

BC

，∴（x-4，y+6）=m（-9，6）+n（0，12），
∴

x-4=-9m y+6=6m+12n

，化為

x=4-9m y=6m+12n-6

．
代入橢圓方程可得：5m²+2mn+2n²-5m-2n=0．
令m+n=k，則n=k-m，代入上式可得：5m²-（2k+3）m+2k²-2k=0，
∵此方程由實數(shù)根，∴△≥0，化為36k²-52k-9≤0，
解得

13-5 10

18

≤k≤

13+5 10

18

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、向量的坐標運算、一元二次方程由實數(shù)根與判別式的關系、梯形與三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．