4．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每年最多生產(chǎn)80臺某種型號的大型計算機(jī)系統(tǒng)，生產(chǎn)x臺（x∈N*）的收入函數(shù)為R（x）=300x-2x2（單位：萬元），其成本函數(shù)為C（x）=80x+600（單位：萬元），利潤是收入與成本之差．
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；
（2）①該公司生產(chǎn)多少臺時獲得的利潤最大？
②利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？

分析 （1）利用已知條件通過P（x）=R（x）-C（x）求解函數(shù)的解析式，以及邊際利潤函數(shù)MP（x）的解析式；
（2）①通過P（x）=-2（x-55）2+5450，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
②利用MP（x）是減函數(shù)，求解即可．

解答 解：由題意知，x∈[1，80]，且x∈N*
（1）P（x）=R（x）-C（x）=300x-2x2-（80x+600）=-2x2+220x-600，
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-2（x+1）2+220（x+1）-600-[-2x2+220x-600]=-4x+218
（2）①P（x）=-2（x-55）2+5450，當(dāng)x=55時，P（x）的最大值為5450（萬元）．
該公司產(chǎn)生55臺時利潤最大．
②又MP（x）=-4x+218是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，MP（x）的最大值為214（萬元）．
因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值．

點評 本題考查實際問題的處理方法，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD
（Ⅰ）證明：BD⊥PC
（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

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15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-4a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（1，5）．

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12．已知f（x）=ax2+x-a，a∈R
（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

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19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（6-a）x-4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（x＜1）\\（x≥1）\end{array}$滿足[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＞0對任意定義域中的x1，x2成立，則實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{6}{5}，6）$．

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9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為$\sqrt{3}$-1，短軸長為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若△OAB（O為直角坐標(biāo)原點）的面積為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，求直線AB的方程．

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16．將函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{5π}{6}$）圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得到的新圖象的函數(shù)解析式為g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

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13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=60°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E、F分別是PA、PC的中點．
（Ⅰ）證明：PA∥平面FBD；
（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一點M使得二面角E-BD-M的大小為60°．若存在，求出PM的長，不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．設(shè)函數(shù)f（x）=kax-a-x（a＞0）且a≠0）是奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，解關(guān)于x的不等式f（x+2）+f（x-4）＞0
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$且對任意的x∈[1，+∞），不等式a2x+a-2x-2mf（x）+2≥0恒成立，求實數(shù)m取值范圍．

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