Question

【題目】設(shè)點為圓上的動點，點在軸上的投影為，動點滿足，動點的軌跡為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設(shè)的左頂點為，若直線與曲線交于兩點，（，不是左右頂點），且滿足，求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；

（2）由向量條件結(jié)合矩形對角線相等可得DA，DB垂直，斜率之積為﹣1，再聯(lián)立直線與橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系，逐步求解得證．

（Ⅰ）設(shè)點，，由題意可知

∵，∴，

即，

又點在圓上 ∴

代入得

即軌跡的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)，

聯(lián)立 得

即，

∴

又

∵ ∴ 即

即

∴

∴

解得，，且均滿足即

當時，的方程為，直線恒過，與已知矛盾；

當，的方程為，直線恒過

所以，直線過定點，定點坐標為.