Question

（2012•東莞一模）已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），記an=3 ^f（n），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z）對n∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解方程可求a，b，根據(jù)所求求f（x）可求a_n
（2）由（1）可求bn=

2n-1

2n

，利用錯(cuò)位相減求和可求T_n，結(jié)合其單調(diào)性可求T_n的范圍，然后由T_n＜m（m∈Z）恒成立，可求滿足題意的m的最小值

解答：（本題滿分14分）
解：（1）由題意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，…（3分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
∴an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*…（6分）
（2）由（1）得bn=

2n-1

2n

，
∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
兩式相減可得

1 2 Tn= 1 21 + 2 22 + 2 23 +…+ 2 2n-1 + 2 2n - 2n-1 2n+1 = 1 21 +( 1 21 + 1 22 +…+ 1 2n-2 + 1 2n-1 )- 2n-1 2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

．
∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，…（10分）
設(shè)f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*，則由

f(n+1)

f(n)

=

2n+5 2n+1

2n+3 2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1
得f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*隨n的增大而減小，T_n隨n的增大而增大．
∴當(dāng)n→+∞時(shí)，T_n→3
又T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用已知函數(shù)解析式求解函數(shù)值及數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列的取值范圍求解中的應(yīng)用．