Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=kx-1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，求得f（-x），看f（x）與f（x）的關系式，進而判斷函數(shù)的奇偶性．
（Ⅱ）先看當x＞0時，根據(jù)導函數(shù)f'（x）大于0或小于0時的f（x）的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷求得其它的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）要使方程f（x）=kx-1有實數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有交點，先看當k＞0時，用導函數(shù)求出當直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時k的值，再根據(jù)對稱性求出k＜0時直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時k的值，進而求出f（x）=kx-1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}
f（-x）=（-x）²ln|-x|=x²lnx=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)
（Ⅱ）當x＞0時，f′(x)=2x•lnx+x2•

1

x

=x•(2lnx+1)
若0＜x＜e-

1

2

，則f'（x）＜0，f（x）遞減；
若x＞e-

1

2

，則f'（x）＞0，f（x）遞增．
遞增區(qū)間是( -e-

1

2

 ，  0)和(e-

1

2

 ，  +∞)；
遞減區(qū)間是(-∞ ，  -e-

1

2

)和(0 ，  e-

1

2

)．
（Ⅲ）要使方程f（x）=kx-1有實數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有交點．
函數(shù)f（x）的圖象如圖．
先求當直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時k的值．
當k＞0時，f'（x）=x•（2lnx+1）
設切點為P（a，f（a）），則切線方程為y-f（a）=f'（a）（x-a），
將x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a²lna+a²-1=0（*）
顯然，a=1滿足（*）
而當0＜a＜1時，a²lna+a²-1＜0，
當a＞1時，a²lna+a²-1＞0
∴（*）有唯一解a=1
此時k=f'（1）=1
再由對稱性，k=-1時，y=kx-1也與f（x）的圖象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用．在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時，常利用導函數(shù)的性質(zhì)．