Question

1．已知函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[2，4]為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在[0，2]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的對(duì)稱軸，討論[2，4]為遞增區(qū)間或遞減區(qū)間，即有$\frac{a}{2}$≤2，或$\frac{a}{2}$≥4，解不等式即可得到所求范圍；
（2）討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，分當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0時(shí)，當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜2時(shí)，當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2時(shí)，結(jié)合單調(diào)性，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
若函數(shù)在區(qū)間[2，4]為單調(diào)遞增函數(shù)，即有$\frac{a}{2}$≤2，解得a≤4；
若函數(shù)在區(qū)間[2，4]為單調(diào)遞減函數(shù)，即有$\frac{a}{2}$≥4，解得a≥8．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥8或a≤4；
（2）當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0時(shí)，即a≤0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，
函數(shù)的最小值為 f（0）=a²-2a+2=2，解得a=0或2（舍去）；
當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜2時(shí)，即0＜a＜4時(shí)，函數(shù)的最小值為 f（$\frac{a}{2}$）=2-a=2，
解得a=0（舍去）；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，
函數(shù)的最小值為 f（2）=a²-10a+18=2，解得a=8或2（舍去）．
綜上可得，a=0或a=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．