Question

吉安市某校高二年級抽取了20名學生的今年三月、四月、五月三個月的月考的數學、化學成績，計算了他們三次成績的平均分如下表：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數學	120	105	91	124	85	132	121	100	78	135
化學	70	68	74	82	78	71	81	62	54	90
學生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數學	132	92	85	123	100	97	101	96	103	105
化學	85	65	53	77	63	85	73	45	84	72

該校規(guī)定數學（≥120分）為優(yōu)秀，化學（≥80分）為優(yōu)秀，其余為不優(yōu)秀．
（1）從這20名學生中隨機抽取2名，用X表示數學成績優(yōu)秀的人數，求X的分布列及數學期望；
（2）根據這次抽查數據，是否在犯錯誤的概率不超過10%的前提下認為化學成績優(yōu)秀與否和數學成績優(yōu)秀與否有關？

Answer 1

分析：（1）確定X的可能取值，求出相應的概率，即可得到分布列，從而求出數學期望；
（2）寫出列聯(lián)表，求出X²，與臨界值比較，即可得到結論．

解答：解：（1）由已知可得：數學成績優(yōu)秀的人數為7，數學成績不優(yōu)秀的人數為13，
則X可能取的值為0，1，2；（1分）
且P(X=0)=

C 2 13

C 2 20

=

78

190

，P(X=1)=

C 1 13 C 1 7

C 2 20

=

91

190

，P(X=2)=

C 2 7

C 2 20

=

21

190

（4分）
則X的分布列為

且EX=0×

78

190

+1×

91

190

+2×

21

190

=

7

10

（6分）
（2）由已知可得：這名學生數學優(yōu)秀及不優(yōu)秀，化學優(yōu)秀及不優(yōu)秀的人數如下表

	數學優(yōu)秀	數學不優(yōu)秀	合計
化學優(yōu)秀	4	2	6
化學不優(yōu)秀	3	11	14
合計	7	13	20

（8分）
則：Χ2=

20×(4×11-3×2)2

6×7×13×14

≈3.778＞2.706（10分）
則：可以認為在犯錯誤的概率不超過10%的前提下化學成績優(yōu)秀和數學成績優(yōu)秀有關．（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．