Question

已知函數f（x）=x|x-2m|，常數m∈R．
（1）設m=0．求證：函數f（x）遞增；
（2）設m＞0．若函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為m²，求正實數m的取值范圍；
（3）設-2＜m＜0．記f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f_k（f（x）），k∈N^*．設n是正整數，求關于x的方程f_n（x）=0的解的個數．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題

分析：（1）m=0時，f（x）=x|x|=

x2 -x2

，接下來可以用函數單調性的定義進行證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，分別在x₁，x₂都大于零或都小于零、或其中一個大于零另一個小零情況下得到f（x₁）＜f（x₂），所以函數為R上的增函數；
（2）先在（0，+∞）上將原函數變形，變?yōu)閒（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，再令g（x）=x（x-2m），通過討論二次函數g（x）的性質可知，得到它的單調性：f（x）在（0，m）上遞增，在（m，2m）上遞減，在（2m，+∞）上遞增．再討論自變量1究竟落在哪一個區(qū)間內，結合比較f（1）、f（m）的大小，再解相關的不等式，最后綜合可得實數m的取值范圍是[

2

-1，1]．
（3）當n∈N^*時，方方程f_n（x）=0有且僅有n+1個解，其中一個解為0，另n個解均在區(qū)間（-∞，2m]中，因此所求解的個數為n+1．用數學歸納法進行證明：首先驗證n=1時，方程f₁（x）=f（x）=0有且僅有兩解2m與0，然后再假設當n=k，k∈N^*時，命題成立，通過一元二次方程根的討論，結合兩個實數比較大小，可以證出當n=k+1，k∈N^*時，命題也成立成立，就證出了上述命題．

解答： 解：（1）由題意，f（x）=x|x|=

x2 -x2

，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
當0≤x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²＜0；
當x₁＜x₂≤0時，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+x₂²=|x₂|²-|x₁²|＜0
當x₁＜0＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²-x₂²＜0
綜上所述，f（x）在的上為單調增函數．
（2）在區(qū)間（0，+∞）上，函數f（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，
令g（x）=x（x-2m），它在（0，m）上遞減，在上（m，+∞）遞增
而在[0，+∞）上，f（x）=

g(x)    x≥2m -g(x)  0≤x＜2m

根據二次函數g（x）的性質可知，f（x）在（0，m）上遞增，在（m，2m）上遞減，在（2m，+∞）上遞增
當1∈（0，m]時，即當m≥1時，[f（x）]max=f（1）=2m-1，解得2m-1=m²，故此時m=1
當1∈（m，2m]時，即

1

2

≤m＜1時，此時，[f（x）]max=f（m）=m²，此時的m均滿足題意．
當1∈（2m，+∞）時，即0＜m＜

1

2

時，[f（x）]max為f（1）與f（m）中較大者，
而故f（m）=m²，f（1）=1-2m，故[f（x）]max=m²當且僅當m²≥1-2m
解這個不等式，得m≤-1-

2

或m≥-1+

2

最后將這個范圍與0＜m＜

1

2

進行交集運算，得m∈[

2

-1，

1

2

）
綜上所述，實數m的取值范圍是[

2

-1，1]
（3）容易知道f₁（x）=f（x）=0有且僅有兩解2m與0
以下用數學歸納法證明：當n∈N^*時，方程f_n（x）=0有且僅有n+1個解，其中一個解為0，
另n個解均在區(qū)間（-∞，2m]中
（i）當n=1時，f₁（x）=0即f（x）=x|x-2m|=0，其有且僅有兩個解分別為0和2m，此時命題成立
（ii）假設當n=k，k∈N^*時，命題成立，即方程f_k（x）=0有且僅有k+1個解，其中一個解為0，另k個解均在（-∞，2m]中，將這個k解從小至大依次記為a₁，a₂，a₃，…，a_k
當n=k+1時，方程f_k+1（x）=0即f_k（f（x））=0．
該方程成立當且僅當f（x）=a₁，f（x）=a₂，f（x）=a₃，…，f（x）=a_k，f（x）=0之一成立
這k+1個方程的解互不相同，以下研究各個方程解的情況．
f（x）=0的解為2m與0對于方程f（x）=a_i，i=1，2，3，…，k，是在（-∞，2m]中的常數，
由于a_i＜0故方程f（x）=x（x-2m）=a_i的解必定是復數．
當x∈[2m，0）時，由二次函數性質，f（x）=x（x-2m）≥-m²
由于m∈（-2，0），-m²＞2m≥a_i，于是當x∈[2m，0）時，f（x）＞a₁，因此方程f（x）=x|x-2m|=a_i的解必定小于2m
當x∈（-∞，2m）時，方程等f（x）=x|x-2m|=-x²+2mx，方程f（x）=a_i等價于x²-2mx+a_i=0，該方程在實數范圍內有兩解m±

m2-a i

，其中m-

m2-a i

＜2m，而m+

m2-a i

＞0＞2m
綜上所述，當i=1，2，3，…，k之一時，方程f（x）=a_i有且僅有一個解，且無論i取1，2，3，…，k中何值，所得解一定小于2m
這樣，算上f（x）=0的兩個解0，2m，方程f_k+1（x）=0的解共有k+2個，且其中有一個是0，另k+1個均在（-∞，2m]中，
這表明當n=k+1時，命題同樣成立
根據（i）和（ii）可以斷定：當n∈N^*時，方程f_n（x）=0有且僅有n+1個解，其中一個解為0，另n個解均在區(qū)間（-∞，2m]中，因此所求的解的個數為n+1．

點評：本題以含有絕對值的函數為例，考查了二次函數的單調性和函數的零點等知識點，屬于難題．解題時應該注意分類討論和轉化化歸等常用數學思想的運用．