Question

（2011•廣州模擬）已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x（a∈R）．
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a-1）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若過點(0，-

1

3

)可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求當a=3時函數(shù)的導數(shù)f′（x），并將其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由f′（x）＜0，得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）方法1：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，原問題轉(zhuǎn)化為：對于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，令h（x）=x²-ax+2a，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關于a的不等關系，從而求出實數(shù)a的取值范圍；
方法2：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，問題轉(zhuǎn)化為，對于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．下面利用導數(shù)工具研究其單調(diào)性和最大值，即可得出實數(shù)a的取值范圍；
（3）先將過點(0，-

1

3

)可作曲線y=f（x）的三條切線轉(zhuǎn)化為：方程

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

=0有三個不同的實數(shù)解，下面利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點，從而求得a的范圍．

解答：解：（1）當a=3時，f(x)=-

1

3

x3+

3

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+3x-2．…（1分）
因為f'（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以當1＜x＜2時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當x＜1或x＞2時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，
因為對于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即對于任意x∈[1，+∞）都有-x²+ax-2＜2（a-1）成立，
即對于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x²-ax+2a，
要使對任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必須滿足△＜0或

△≥0 a 2 ≤1 h(1)＞0.

…（5分）
即a²-8a＜0或

a2-8a≥0 a 2 ≤1 1+a＞0.

…（6分）
所以實數(shù)a的取值范圍為（-1，8）．…（7分）
方法2：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，
因為對于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以問題轉(zhuǎn)化為，對于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．…（4分）
因為f′(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-2，其圖象開口向下，對稱軸為x=

a

2

．
①當

a

2

＜1時，即a＜2時，f'（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f'（x）_max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此時-1＜a＜2．…（5分）
②當

a

2

≥1時，即a≥2時，f'（x）在[1，

a

2

]上單調(diào)遞增，在(

a

2

，+∞)上單調(diào)遞減，
所以f′(x)max=f′(

a

2

)=

a2

4

-2，
由

a2

4

-2＜2(a-1)，得0＜a＜8，此時2≤a＜8．…（6分）
綜上①②可得，實數(shù)a的取值范圍為（-1，8）．…（7分）
（3）設點P(t，-

1

3

t3+

a

2

t2-2t)是函數(shù)y=f（x）圖象上的切點，
則過點P的切線的斜率為k=f'（t）=-t²+at-2，…（8分）
所以過點P的切線方程為y+

1

3

t3-

a

2

t2+2t=(-t2+at-2)(x-t)．…（9分）
因為點(0，-

1

3

)在切線上，
所以-

1

3

+

1

3

t3-

a

2

t2+2t=(-t2+at-2)(0-t)，
即

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

=0．…（10分）
若過點(0，-

1

3

)可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，
則方程

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

=0有三個不同的實數(shù)解．…（11分）
令g(t)=

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

，則函數(shù)y=g（t）與t軸有三個不同的交點．
令g'（t）=2t²-at=0，解得t=0或t=

a

2

．…（12分）
因為g(0)=

1

3

，g(

a

2

)=-

1

24

a3+

1

3

，
所以必須g(

a

2

)=-

1

24

a3+

1

3

＜0，即a＞2．…（13分）
所以實數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）．…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法、函數(shù)恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．