Question

設(shè)定點(diǎn)M（3，

10

3

）與拋物線y²=2x上的點(diǎn)P的距離為d₁，P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d₂，則d₁+d₂取最小值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�

• A．（0，0）
• B．（1，

  2

  ）
• C．（2，2）
• D．（

  1

  8

  ，-

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：先判斷出M（3，

10

3

）在拋物線y²=2x的外部然后做出圖形（如下圖）則PM=d₁過p作PN⊥直線x=

1

2

則PN=d₂，根據(jù)拋物線的定義可得d₁+d₂=PM+PF故要使d₁+d₂取最小值則只有當(dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)成立因此可求出MF所在的直線方程然后與拋物線的方程聯(lián)立即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：∵（3，

6

）在拋物線y²=2x上且

10

3

＞ 

6

∴M（3，

10

3

）在拋物線y²=2x的外部
∵拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F（

1

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

∴在拋物線y²=2x上任取點(diǎn)P過p作PN⊥直線x=

1

2

則PN=d_2，
∴根據(jù)拋物線的定義可得d₂=PF
∴d₁+d₂=PM+PF
∵PM+PF≥MF
∴當(dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)d₁+d₂取最小值
此時(shí)MF所在的直線方程為y-

10

3

=

4

3

（x-3）即4x-3y-2=0
令

4x-3y-2=0 y2=2x

則

x=2 y=2

即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）時(shí)d₁+d₂取最小值
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察拋物線的性質(zhì)，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是將d₁+d₂=PM+PN根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為d₁+d₂=PM+PF！