Question

15．設(shè)0＜a≤1，函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$-1，g（x）=x-2lnx，若對任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是[2-2ln2，1]．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，分別求出函數(shù)f（x）的最小值，g（x）的最小值，進而可建立不等關(guān)系，即可求出a的取值范圍．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)，可得g′（x）=1-$\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（2）=2-2ln2，
令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±$\sqrt{a}$，
當(dāng)0＜a≤1，f（x）在[1，e]上單調(diào)增，
∴f（x）_min=f（1）=a≥2-2ln2，
∴2-2ln2≤a≤1，
故答案為[2-2ln2，1]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是將對任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，轉(zhuǎn)化為對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x）_min≥g（x）_min．