已知橢圓
x2
4
+
y2
9
=1和動(dòng)直線y=
3
2
x+m．
（1）當(dāng)動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)，求m取值范圍；
（2）當(dāng)動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)，證明動(dòng)直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線上．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）把直線y=
3
2
x+m代入橢圓方程
x2
4
+
y2
9
=1，得9x2+6mx+2m2-18=0，由此利用根的判別式能求出動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)，m取值范圍．
（2）設(shè)直線與橢圓相交得到線段AB，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），x=
x1+x2
2
=-
m
3
，點(diǎn)M在直線y=
3
2
x+m上，二者聯(lián)立能證明動(dòng)直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線3x+2y=0上．
解答： （1）解：把直線y=
3
2
x+m代入橢圓方程
x2
4
+
y2
9
=1化簡(jiǎn)，
得9x2+6mx+2m2-18=0，
△=36m2-36（2m2-18），
∵動(dòng)直線與橢圓相交，
∴△＞0，解得-3
2
＜m＜3
2
，
∴動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)，m取值范圍是（-3
2
，3
2
）．
（2）證明：設(shè)直線與橢圓相交得到線段AB，
并設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程9x2+6mx+2m2-18=0的根，
∴x=
x1+x2
2
=-
m
3
，
∵點(diǎn)M在直線y=
3
2
x+m上，
與x=-
m
3
聯(lián)立，消去m，得3x+2y=0．
∴動(dòng)直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線3x+2y=0上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查動(dòng)直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線上的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下命題
①若cosαcosβ=1，則sin（α+β）=0；
②已知直線x=m與函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=sin（
π
2
-x）的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為
2
；
③若A，B是△ABC的兩內(nèi)角，如果A＞B，則sinA＞sinB；
④若A，B是銳角△ABC的兩內(nèi)角，則sinA＞cosB．
其中正確的有（　�。﹤�(gè)．
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a7=-2，S5=30．
（Ⅰ）求a1及d；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足an=
b1+2b2+3b3+…+nbn
n2
（n∈N*），求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并bn的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的右焦點(diǎn)F重合，過點(diǎn)F斜率為2
2
的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為（1，0），（4，0），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且|PB|=2|PA|，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，極軸為x正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)M（x，y）在曲線C上移動(dòng)，求式子3x-4y+5的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．
（1）現(xiàn)有三個(gè)單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個(gè)單位分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最�。�
（2）若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最��？
（3）若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

巳知函數(shù)f（x）=
1
3
ax2-bx-1nx，其中a，b∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e）處的切線方程為2x-3y-e=0（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求a，b的值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0，且a為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)h（x）=x[f（x）+1nx]對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有
h(x1)-h(x2)
x1-x2
＞-1成立，試用a表示出b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ----------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）利用上述結(jié)論，試求sin15°+sin75°的值．
（2）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}，其中a1=
1
2
，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2an（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，n≥2，有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
＜
m-8
4
恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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