設(shè).證明:當(dāng)且僅當(dāng)時,存在數(shù)列滿足以下條件:

(。,;

(ⅱ)存在;

(ⅲ),

[證]  必要性:假設(shè)存在滿足(ⅰ),(ⅱ),(iii).注意到(ⅲ)中式子可化為

          ,,

其中

將上式從第1項加到第項,并注意到

       .              

由(ⅱ)可設(shè),將上式取極限得

        

           

,

因此.                                                          

充分性:假設(shè).定義多項式函數(shù)如下:

         ,

在[0,1]上是遞增函數(shù),且

,

因此方程在[0,1]內(nèi)有唯一的根,且,即.   

下取數(shù)列,則明顯地滿足題設(shè)條件(。,且 

,故,因此,即的極限存在,滿足(ⅱ).                                                              

最后驗證滿足(ⅲ),因,即,從而

       

綜上,已證得存在數(shù)列滿足(。,(ⅱ),(ⅲ).          


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面內(nèi)動點P(x,y)到定點F(1,0)的距離與其到定直線l:x=4的距離之比是
12
,設(shè)動點P的軌跡為M,軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點A,過點F的直線交軌跡M于B、C兩點.
(1)求軌跡M的方程;
(2)證明:當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形;
(3)△ABC的面積是否存在最值?如果存在,求出最值;如果不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是實常數(shù),e是自然對數(shù)的底.
(1)確定a的值,使f(x)的極小值為0;
(2)證明:當(dāng)且僅當(dāng)a=3時,f(x)的極大值為3;
(3)討論關(guān)于x的方程f(x)+f'(x)=2xe-x+x-2(x≠0)的實數(shù)根的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2-bn
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=an2•bn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3,且n∈N+時,cn+1<cn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=(x2+ax+a)e-x,x∈R.
(Ⅰ)確定a的值,使f(x)的極小值為0;
( II)證明:當(dāng)且僅當(dāng)a=3時,f(x)的極大值為3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•閘北區(qū)二模)如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A1、A2為橢圓C的左、右頂點.
(Ⅰ)設(shè)F1為橢圓C的左焦點,證明:當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時|PF1|取得最小值與最大值;
(Ⅱ)若橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅲ)若直線l:y=kx+m與(Ⅱ)中所述橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且滿足AA2⊥BA2,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

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