Question

正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為（　�。�

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由已知中正四面體的所有面都是等邊三角形，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，由等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，易得∠AEB即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．

解答：解：不妨設(shè)正四面體為A-BCD，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為2，則AE=BE=

3

且AE⊥CD，BE⊥CD，則∠AEB即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角
在△ABE中，cos∠AEB=

AE2+BE2-AB2

2AE•BE

=

1

3

故正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是

1

3

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中確定∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，是解答本題的關(guān)鍵．