Question

已知斜率為1的直線l，過(guò)橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點(diǎn)F₂，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)AB和△ABF₁的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程y=x-1與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由橢圓

x2

3

+

y2

2

=1可得右焦點(diǎn)F₂（1，0），左焦點(diǎn)F₁（-1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．
聯(lián)立

y=x-1 2x2+3y2=6

，化為5x²-6x-3=0．
∴x₁+x₂=

6

5

，x₁x₂=-

3

5

．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[( 6 5 )2-4×(- 3 5 )]

=

8 3

5

．
F₁點(diǎn)到直線AB的距離d=

2

2

=

2

．
∴△ABF₁的面積=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

2

×

8 3

5

=

4 6

5

．
∴弦長(zhǎng)|AB|=

8 3

5

，△ABF₁的面積為

4 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．