Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（2）=1，且對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），f（x）滿足：
①f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
②當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）
（1）求f（1），f（4），f（8）的值；
（2）若f（2x-5）≤3成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)的表達(dá)式，利用賦值法即可求f（1），f（4），f（8）的值；
（2）由②判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且f（2）=1，
∴f（2）=f（2）+f（1），
即f（1）=0，
則f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=2+1=3；
（2）當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，由x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
可得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
故函數(shù)在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
由（1）知，f（8）=3，
則不等式f（2x-5）≤3等價(jià)為f（2x-5）≤f（8），
∵函數(shù)在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
∴0＜2x-5≤8，
即

5

2

＜x≤

13

2

，
即x的取值范圍是（

5

2

，

13

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．