Question

已知f(x)=log

1

2

2x+b

2x-b

(b＜0)．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）指出f（x）在區(qū)間（-b，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

（1）由

2x+b

2x-b

＞0，b＜0，得到x＜

b

2

或x＞-

b

2

則所求函數(shù)定義域?yàn)?span mathtag="math" >(-∞，

b

2

)∪(-

b

2

，+∞)．
（2）∵f（-x）=log

1

2

，

-2x+b

-2x-b

=log

1

2

2x-b

2x+b

=-log

1

2

2x+b

2x-b

=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．

（3）令g（x）=

2x+b

2x-b

．
設(shè)-b＜x₁＜x₂，則g（x₁）-g（x₂）=

4b(x2-x1)

(2x1-b)(2x2-b)

（10分）
∵b＜0∴-

b

2

＜-b，∴x2＞x1＞-

b

2

，則有x₂-x₁＞0，2x₁-b＞0，2x₂-b＞0
∴

4b(x2-x1)

(2x1-b)(2x2-b)

＜0，即g（x₁）＜g（x₂），而f（x）=log

1

2

g（x）且0＜

1

2

＜1
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-b，+∞）上是減函數(shù)．