Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上為增函數(shù)，在[0，2]上為減函數(shù)，f（2）=0．
（1）求c的值；
（2）求證：f（1）≥2．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c．
由題f'（0）=0知c=0
（2）由題又有d=-4（b+2）故由f'（x）=3x²+2bx=0兩根為．
結(jié)合題設(shè)條件有，即b≤-3．
又f（1）=-7-3b≥-7-3×（-3）=2
即得．
分析：（1）函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上為增函數(shù)，在[0，2]上為減函數(shù)，說明f′（0）=0，求導(dǎo)后解方程即可
（2）由f（2）=0，得d=-4（b+2），從而f（1）=1+b+c+d=-7-3b，故只需求b的范圍即可，由導(dǎo)函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)不小于2，可得b的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考察了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，極值的意義，解題時(shí)要透徹理解函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，熟練運(yùn)用消元化簡(jiǎn)的技巧提高解題效率