Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1 3 an+n，n為奇數(shù) an-3n，n為偶數(shù)

（I）求證：數(shù)列{a_2n-

3

2

}是等比數(shù)列；
（II）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)b_n=a_2n-

3

2

，則b1=a2-

3

2

=-

1

6

，

bn+1

bn

=

a2n+2- 3 2

a2n- 3 2

=

1

3

，由此能證明數(shù)列{a2n-

3

2

}是以-

1

6

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由b_n=a_2n-

3

2

=-

1

6

•（

1

3

）^n-1=-

1

2

•（

1

3

）ⁿ，得a2n=-

1

2

•(

1

3

)n+

3

2

，從而a_2n-1+a_2n=-2•（

1

3

）ⁿ-6n+9，由此能求出S_2n．從而能求出滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)b_n=a_2n-

3

2

，則b1=a2-

3

2

=（

1

3

a1+1）-

3

2

=-

1

6

，

bn+1

bn

=

a2n+2- 3 2

a2n- 3 2

=

1 3 (a2n-6n)+(2n+1)- 3 2

a2n- 3 2

=

1 3 a2n- 1 2

a2n- 3 2

=

1

3

，
∴數(shù)列{a2n-

3

2

}是以-

1

6

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b_n=a_2n-

3

2

=-

1

6

•（

1

3

）^n-1=-

1

2

•（

1

3

）ⁿ，
∴a2n=-

1

2

•(

1

3

)n+

3

2

，
由a_2n=

1

3

a2n-1-3（2n-1），
得a_2n-1=3a_2n-3（2n-1）=-

1

2

•（

1

3

）^n-1-6n+

15

2

，
∴a_2n-1+a_2n=-

1

2

•[（

1

3

）^n-1+（

1

3

）ⁿ]-6n+9
=-2•（

1

3

）ⁿ-6n+9，
S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=-2[

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n]-6（1+2+3+…+n）+9n
=(

1

3

)n-1-3n2+6n
=（

1

3

）ⁿ-3（n-1）²+2．
由題意得n∈N^*時(shí)，{S_2n}單調(diào)遞減，
又當(dāng)n=1時(shí)，S₂=

7

3

＞0，當(dāng)n=2時(shí)，S₄=-

8

9

＜0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_2n＜0，S_2n-1=S_2n-a_2n=

3

2

•(

1

3

)n-

5

2

-3n2+6n，
同理，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，S_2n+1＞0，
綜上所述，滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n為1和2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前2n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、等比數(shù)列性質(zhì)、分組求和法的合理運(yùn)用．