Question

如圖，若M是拋物線y²=x上的一定點(diǎn)（M不是頂點(diǎn)），動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB．證明：直線EF的斜率為定值．

Answer 1

分析：設(shè)M（y₀²，y₀），由MA=MB可得直線ME的斜率為k（k＞0）方程為y-y₀=k（x-y₀²）與直線MF的斜率互為相反數(shù)
則直線MF的斜率為-k，方程為y-y₀=-k（x-y₀²）．聯(lián)立直線與拋物線方程可分別求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入直線的斜率公式可求

解答：證明：設(shè)M（y₀²，y₀），直線ME的斜率為k（k＞0），
方程為y-y₀=k（x-y₀²）．
則直線MF的斜率為-k，方程為y-y₀=-k（x-y₀²）．
由

y-y0=-k(x- y 2 0 ) y2=x

消去x得ky2-y+y0(1-ky0)=0， 解得yE= 1-ky0 k ，所以xE= (1-ky0)2 k2 ，

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(

(1-ky0)2

k2

，

1-ky0

k

)．…（5分）
同理可得，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(

(1+ky0)2

k2

，

1+ky0

-k

)．
所以kEF=

yE-yF

xE-xF

=

1-ky0 k - 1+ky0 -k

(1-ky0)2 k2 - (1+ky0)2 k2

=

2 k

-4ky0 k2

=-

1

2y0

，
所以直線EF的斜率為定值．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由MA=MB發(fā)現(xiàn)直線ME與MF的斜率的關(guān)系．