Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA₁=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求點(diǎn)B₁到平面EA₁C₁ 的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD于F點(diǎn)，算出BF、EF、FC的長(zhǎng)，從而在△BCE中算出BE、BC、CE的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，結(jié)合BE⊥BB₁利用線面垂直的判定定理，可證出BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）根據(jù)AA₁⊥平面A₁B₁C₁，算出三棱錐E-A₁B₁C₁的體積V=．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出A₁C₁=EC₁=3、A₁E=2，從而得到等腰△A₁EC₁的面積S_△=3，設(shè)B₁到平面EA₁C₁ 的距離為d，可得三棱錐B₁-A₁C₁E的體積V=×S_△×d=d，從而得到=d，由此即可解出點(diǎn)B₁到平面EA₁C₁ 的距離．
解答：解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD于F點(diǎn)，則
BF=AD=，EF=AB=DE=1，F(xiàn)C=2
在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==
因此，△BCE中可得BE²+BC²=9=CE²
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴BE⊥BB₁，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，得AA₁是三棱錐E-A₁B₁C₁的高線
∴三棱錐E-A₁B₁C₁的體積V=×AA₁×S_△=
在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁==3
同理可得EC₁==3，A₁E==2
∴等腰△A₁EC₁的底邊EC₁上的中線等于=，
可得S_△=×2×=3
設(shè)點(diǎn)B₁到平面EA₁C₁ 的距離為d，則三棱錐B₁-A₁C₁E的體積為
V=×S_△×d=d，可得=d，解之得d=
即點(diǎn)B₁到平面EA₁C₁ 的距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題在直四棱柱中求證線面垂直，并求點(diǎn)到平面的距離．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與其逆定理和利用等積轉(zhuǎn)換的方法求點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，屬于中檔題．