(2012•安徽模擬)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(1)證明:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bn=
n
an-n
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn+bn
16
9
分析:(1)數(shù)列{an}中,由a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,知an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*,a1-1=1,由此能夠證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)得bn=
n
an-n
=
n
4n-1
,故Sn=1+2×
1
4
+3×
1
42
+…+
(n-1)×
1
4n-2
+n×
1
4n-1
,由錯(cuò)位相減法能求出Sn=
16
9
(1-
1
4n
)-
n
4n-1
,由此能夠Sn+bn
16
9
解答:解:(1)∵數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*,a1-1=1,
∴數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列,
an-n=1×4n-1,an=4n-1+n
(2)由(1)得bn=
n
an-n
=
n
4n-1
,
Sn=1+2×
1
4
+3×
1
42
+…+
(n-1)×
1
4n-2
+n×
1
4n-1
,
1
4
Sn=1×
1
4
+2×
1
42
+…+(n-1)×
1
4n-1
+n×
1
4n

相減得
3
4
Sn=(1+
1
4
+
1
42
+…+
1
4n-1
)-n×
1
4n
=
4
3
(1-
1
4n
)-n×
1
4n
,
Sn=
16
9
(1-
1
4n
)-
n
4n-1

Sn+bn=
16
9
-
16
9
×
1
4n
-
n
4n-1
+
n
4n-1

=
16
9
+
1
4n-1
•(2n-
4
3
)
,
∵n≥1,∴2n-
4
3
>0
,
Sn+bn
16
9
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的求法,考查不等式的證明.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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1
2
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3
sinx+
sin2x
sinx

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3
,求
AB
AC
的最大值.

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