Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0。
（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（+1）＞都成立。

Answer 1

解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（-1，+∞）

設(shè)g（x）=2x²+2x+b，其圖象的對稱軸為
∴
當(dāng)
即g（x）=2x²+2x+b>0在（-1，+∞）上恒成立
∴當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f'（x）>0
∴當(dāng)時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增。
（2）①由（1）得：當(dāng)時，函數(shù)f（x）無極值點
時，有兩個相同的解

∵

∴時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點
③當(dāng)時，f'（x）=0有兩個不同解
，
∵
即x₁?（-1，+∞），x₂∈（-1，+∞）
∴b<0時，f'（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

由此表可知b<0時，f（x）有唯一極小值點
當(dāng)時，
∴x₁、x₂∈（-1，+∞）
此時，f'（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

由此表可知：時，f（x）有一個極大值點x₁=
和-個極小值點
綜上所述，b<0時，f（x）有唯一極小值點；
時，f（x）有一個極大值點和一個極小值點
時，f（x）無極值點。
（3）當(dāng)b=-1時，函數(shù)
令函數(shù)
則
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，h'（x）>0，所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）>h（0）=0，即x³>x²-ln（x+1）恒成立，
故當(dāng)x∈（0，+∞）時，有l(wèi)n（x+1）>x²-x³
對任意正整數(shù)n，取
則有
所以結(jié)論成立。